Aktuelle Serie


Einsendeschluss: 22. Juni 2019

Aufgabenblatt Serie 7


Aufgabe 7-1. Karlheinz will aus gleichgroßen roten und weißen Quadratflächen lückenlos eine Rechteckfläche derartig zusammensetzen, dass sämtliche an den Rand dieses Rechtecks grenzenden Quadratflächen rot sind, während alle übrigen (im Innern gelegenen Quadratflächen) weiß sein sollen. Dabei soll die Anzahl der roten Quadratflächen gleich der Anzahl der weißen Quadratflächen sein.
Man gebe alle Rechteckflächen an, die Karlheinz unter diesen Bedingungen bilden kann.

Aufgabe 7-2. Man berechne die Summe S aller der (im dezimalen Positionssystem) dreistelligen natürlichen Zahlen, die jeweils mit voneinander verschiedenen Ziffern und ohne Ziffer 0 dargestellt werden.

Aufgabe 7-3. Es sei A der Flächeninhalt und u = a + b + c der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c. Man ermittle das Maximum des Verhältnisses z = A : u2. Für welche Dreiecke wird es angenommen?

Aufgabe 7-4. Man ermittle alle geordneten Paare (x ; y) jeweils zweistelliger Zahlen x und y mit x > y, für die folgendes (gleichzeitig) gilt:

(*) Schreibt man die Ziffern der Zahl x in umgekehrter Reihenfolge, so erhält man die Zahl y.
(**) Schreibt man die Ziffern der Zahl x2 in umgekehrter Reihenfolge, so erhält man die Zahl y2.

Aufgabe 7-5A.
(a) Man gebe für jede reelle Zahl a alle diejenigen linearen Funktionen f(x) an, die die Eigenschaft haben, dass für jedes reelle x gilt:

f(x)=f(x + 1) - a

(b) Man gebe alle quadratischen Funktionen f(x) an, die für alle reellen x die Gleichung erfüllen:

f(x + 1) = f(-x)

(c) Es sei f eine Funktion, die für alle reellen Zahlen x definiert ist und die folgende Eigenschaft hat: Für alle x gilt

f(x) = x ⋅ f(x + 1)
f(1) = 1

Man ermittle alle ganzen Zahlen n, für die f(n) = 0 gilt.

Aufgabe 7-5B.
Gitterpunkte der Ebene (bzw. des Raumes) seien alle Punkte, deren Koordinaten bezüglich eines ebenen (bzw. räumlichen) kartesischen Koordinatensystems ganze Zahlen sind.

(a) Es seien in der Ebene 5 Gitterpunkte (bzw. im Raum 9 Gitterpunkte) beliebig ausgewählt. Man zeige, dass der Mittelpunkt mindestens einer der Verbindungsstrecken von je zwei dieser Punkte wieder ein Gitterpunkt ist.

(b) Man zeige: Es gibt unendlich viele regelmäßige Tetraeder, dessen Eckpunkte Gitterpunkte des Raumes sind.

(c) Man zeige: Es gibt kein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte Gitterpunkte der Ebene sind.