Aktuelle Serie


Einsendeschluss: 10. Dezember 2018

Aufgabenblatt Serie 3


Aufgabe 3-1. Bei einer 202-stelligen Quadratzahl 999...999z000...0009 (mit 100 Neunen im linken Teil und 100 Nullen im rechten Teil) ist die Ziffer z an der 102-ten Dezimalstelle von rechts nicht lesbar. Ermitteln Sie eine mögliche Ziffer, die dort stehen kann.

Aufgabe 3-2. Gegeben seien 2016 paarweise verschiedene positive reelle Zahlen, wobei das Produkt von irgend 13 dieser Zahlen stets größer als 1 ist. Kann dann das Produkt aller 2016 Zahlen kleiner als 1 sein?.

Aufgabe 3-3. Eine Summe aus 335 paarweise verschiedenen positiven ganzen Zahlen hat den Wert 100000.
a) Wie viele ungerade Summanden müssen in der Summe mindestens vorkommen?
b) Wie viele ungerade Summanden können es höchstens sein?

Aufgabe 3-4. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind Umkreis- und Inkreisradius gegeben. Man konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal, beschreibe die Konstruktion und begründe ihre Richtigkeit.

Aufgabe 3-5A. Man beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Differenz der Quadratzahlen zweier ungerader natürlicher Zahlen ist stets durch 8 teilbar.
(b) Für alle ganzen Zahlen a und b gilt: Wenn a2 + b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.
(c) Ist die Summe dreier natürlicher Zahlen durch 6 teilbar, dann ist auch die Summe der Kuben dieser drei Zahlen durch 6 teilbar.

Aufgabe 3-5B. Es sind an das arithmetische Mittel und gn das geometrische Mittel der natürlichen Zahlen x1, x2, ..., xn (n > 1). Mit Sn sei die folgende Behauptung bezeichnet:

Sn : Ist an/gn eine natürliche Zahl, so ist x1 = x2 = ... = xn.

(a) Man zeige, dass S3 im Allgemeinen falsch ist.
(b) Man zeige: Es gibt eine natürliche Zahl m > 1, so dass für x1 = m und x2 = x3 = x4 = 1 das Verhältnis a4/g4 eine natürliche Zahl ist.
(c) Man beweise, dass S2 stets richtig ist.