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Einsendeschluss: 22. März 2019

Aufgabenblatt Serie 6


Aufgabe 6-1. Gesucht sind alle vierstelligen natürlichen Zahlen n mit der folgenden Eigenschaft: Teilt man die Dezimaldarstellung von n durch einen „Schnitt“ in der Mitte, sodass zwei zweistellige natürlichen Zahlen a und b entstehen, so ist das Quadrat aus der Summe von a und b gleich n.

Aufgabe 6-2. Jede konvexe Vierecksfläche wird durch ihre Diagonalen in vier Dreiecksflächen zerlegt. Man beweise, dass ein konvexes Viereck genau dann ein Parallelogramm ist, wenn je zwei beliebige der vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 6-3. Es sei ABCD ein Rechteck, und es sei P ein Punkt, der nicht notwendig in der Ebene des Rechtecks zu liegen braucht. P habe vom Eckpunkt A den Abstand a, vom Punkt B den Abstand b und von C den Abstand c.
Man berechne den Abstand d des Punktes P vom Eckpunkt D und zeige dabei, dass zur Ermittlung dieses Abstandes d die Kenntnis der drei Abstände a, b, c ausreicht.

Aufgabe 6-4. Man beweise folgenden Satz: Wenn in einer quadratischen Gleichung a · x2 + b · x + c = 0 die Koeffizienten a, b, c sämtlich ungerade Zahlen sind, dann hat diese Gleichung keine rationalen Lösungen.

Aufgabe 6-5A.
Ein Würfel mit der Kantenlänge 1 m werde durch einen ebenen Schnitt in zwei Teile zerlegt. Man betrachte im Folgenden die dabei entstehende Schnittfläche.

(a) Kann der Schnitt so erfolgen, dass die Schnittfläche ein Quadrat mit einem Flächeninhalt von mehr als 1,1 m2 einschließt?

(b) Kann der Schnitt so erfolgen, dass die Schnittfläche ein regelmäßiges Sechseck ist?

(c) Für welche ungeraden Zahlen n > 1 gilt: Es gibt einen ebenen Schnitt derart, dass die Schnittfläche ein regelmäßiges n-Eck ist.

Aufgabe 6-5B. Ein n-Tupel von natürlichen Zahlen a1, a2, ..., an heißt Pythagoreisches Zahlen-n-Tupel (kurz P-n-Tupel genannt), falls seine Zahlen die Gleichung

a12 + a22 + ... an-12 = an2

erfüllen.

(a) Man beweise: Ist die Differenz zweier Quadratzahlen von natürlichen Zahlen geradzahlig, so ist sie durch 4 teilbar.

(b) Man untersuche, ob ein P-102-Tupel mit geeigneten natürlichen Zahlen a101 und a102 existiert, dessen Zahlen a1, a2, ..., a100 die ersten 100 natürlichen Zahlen 1, 2, ..., 100 sind!

(c) Gegeben sei ein P-n-Tupel ( a1, a2, ..., ak, ..., an) mit ungeradzahligem an (1 < k < n). Man gebe ein P-(n+1)-Tupel an, das ebenfalls mit a1, a2, ..., ak beginnt?