Aufgaben

 



Aufgabenblatt Serie 1

Aufgabe 1-1. Man finde alle positiven ganzen Zahlen, die gleich der Summe ihrer Quersumme und ihres Querproduktes sind.
Bitte beachten: Alleiniges systematisches Probieren gilt im KZM nicht als gleichwertige Lösung.

Aufgabe 1-2. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung ab + 7 = c, wobei a, b und c Primzahlen sind.

Aufgabe 1-3. Jemand hat 55 Bälle, von denen einige blau sind und die übrigen rot. Außerdem hat er 10 Kisten; in die erste passt genau ein Ball, in die zweite passen genau zwei Bälle usw.
Zeigen Sie, dass es möglich ist, alle Bälle so in den Kisten zu verstauen, dass in keiner Kiste Bälle unterschiedlicher Farbe vorkommen.

Aufgabe 1-4. Gegeben sei ein Quadrat. Ein Kreis soll so gezeichnet werden, dass er zwei benachbarte Seiten des Quadrates berührt und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Quadrates geht. Man beschreibe die Konstruktion.

Aufgabe 1-5A. Gegeben sei für S die Summendarstellung S = 1 + 3 + ... + 31. Man könnte vermuten, dass unter S die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 31 gemeint ist.

(a) Man leite eine Formel zur Berechnung der Summe der ersten n ungeraden Zahlen her, also einen Ausdruck ohne Summenzeichen für S1 in Abhängigkeit von n.

(b) Es ist zu zeigen, dass die Darstellung von S = 1 + 3 + ... + 31 nicht eindeutig ist. Man gebe außer S1 (mit 16 Summanden) zwei weitere Summen mit verschiedener Summandenzahl an, in denen die Summanden 1, 3 und 31 wie angegeben als erste, zweite bzw. letzte Summanden vorkommen, und verwende für die Summendarstellung das Summenzeichen.

(c) Man gebe unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S = 1 + 3 + ... + 31 derart an, dass sich bei insgesamt 4 Summanden die Summe 45 ergibt. Man berechne die Summe der ersten 6 Zahlen gemäß dieser Darstellung.
Kann man für jede vorgegebene Zahl A unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S finden, sodass der erste Summand 1, der zweite Summand 3, der vierte Summand 31 und für die Summe der ersten vier Summanden S(4) = A gilt?

Aufgabe 1-5B. Es sind n Punkte (n > 1) so in einem Quadrat der Seitenlänge 1 zu verteilen, dass ihr Mindestabstand möglichst groß wird. Unter Mindestabstand dn zwischen n Punkten einer gegebenen Verteilung wird die kleinste Länge von den insgesamt möglichen Verbindungsstrecken zwischen je zwei Punkten verstanden. Für n = 2 ist die Lösung der Aufgabe trivial und man findet d2 = √ 2. Für n = 4 erscheint d4 = 1 als naheliegend, aber dafür ist bereits ein Beweis notwendig.

(a) Man gebe für n = 3 eine Verteilung mit möglichst großem Mindestabstand d3 an und bestimme die Größe von d3 für das gewählte Beispiel.

(b) Man beweise, dass es eine Verteilung von n = 6 Punkten gibt, sodass der Mindestabstand d6 größer als 0.58 wird.

(c) Man finde eine Verteilung von n = 5 Punkten, sodass der Mindestabstand d5 maximal wird. Man zeige, dass es keine Verteilung gibt, die einen größeren Mindestabstand erreicht.

Schuljahr 2019/2020

Aufgabenblatt Serie 7

Aufgabe 7-1. Gibt es außer der Zahl 9 noch weitere Quadratzahlen unter den Zahlen, die nur mit der Ziffer 9 geschrieben werden, also unter den Zahlen 9, 99, 999, 9999, ...?

Aufgabe 7-2. In einem ebenen Dreieck seien zwei der drei Seitenhalbierenden gegeben. Dadurch ist das Dreieck in drei Teildreiecke und ein Viereck zerlegt.
Welchen Anteil an der Fläche des Gesamtdreiecks hat die Viereckfläche?

Aufgabe 7-3. Auf einer Party mit 21 Personen kennt jede Person höchstens vier andere. Man zeige, dass es auf dieser Party mindestens fünf Menschen gibt, die sich gegenseitig nicht kennen.
(Hinweis: Wenn Person A die Person B kennt, dann kennt auch B die Person A.)

Aufgabe 7-4. Fünf Kreisscheiben mit Radius 1 seien so angeordnet, dass ihre Mittelpunkte die Ecken eines regelmäßigen Fünfecks bilden und ihre Kreislinien alle durch den Mittelpunkt des Fünfecks gehen.
Man berechne den Radius der größten Kreisscheibe, die von den fünf Kreisscheiben bedeckt wird!

Aufgabe 7-5A.
In Analogie zu Magischen Quadraten kann man Magische Sechsecke konstruieren: Um ein einzelnes regelmäßiges Sechseck (dies sei ein Sechseck 1. Ordnung) kann man einen Ring von sechs weiteren gleichgroßen regelmäßigen Sechsecken legen, wobei die Figuren (wabenförmig) mit den Kanten aneinanderstoßen. Dieses Gebilde aus 7 Sechsecken wird Sechseck 2. Ordnung genannt. Ordnet man um dieses Gebilde in analoger Weise zwölf weitere Sechsecke, so erhält man ein Sechseck 3. Ordnung usw. (s. Skizze im Aufgabenblatt).

Besteht ein Sechseck n-ter Ordnung aus m Teilsechsecken und beschreibt man jedes dieser Teilsechsecke mit genau einer der natürlichen Zahlen 1 bis m, so wird das Sechseck magisch genannt, wenn die Summen auf allen "geraden Reihen" jeweils den gleichen Wert annehmen. Im Sechseck 2. Ordnung gibt es 9 solcher "geraden Reihen", im Sechseck 3. Ordnung 15.

(a) Man ermittle für jede Zahl n die Anzahl der Teilsechsecke, die für ein Sechseck n-ter Ordnung benötigt werden.
(b) Man zeige, dass es kein Magisches Sechseck 2. Ordnung geben kann, dass man also die Zahlen 1 bis 7 nicht so auf die Teilsechsecke verteilen kann, dass die Summen auf den 6 zweiteiligen Seitenreihen und den 3 dreiteiligen Mittelreihen jeweils gleich sind.
(c) Man untersuche, für welche n > 2 es keine Magischen Sechsecke n-ter Ordnung geben kann.

Aufgabe 7-5B.
Es sei QP(n) das Querprodukt von n, also das Produkt aller Ziffern der Dezimalschreibweise der natürlichen Zahl n (in Analogie zur Quersumme).
Gegeben sei die Gleichung

(1) n2 - 16n + 42 = QP(n)

(a) Man ermittle die kleinste echt-zweistellige Zahl n, die die Gleichung (1) erfüllt.
(b) Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen QP(n) ≤ n gilt:
(c) Man finde alle natürliche Zahlen n, die die Gleichung (1) erfüllen.

Aufgabenblatt Serie 6

Aufgabe 6-1. Man bestimme den Umfang eines Dreiecks mit folgenden Eigenschaften:
(a) alle Seitenlängen sind ganzzahlig,
(b) eine der Seitenlängen ist 13,
(c) das Produkt der beiden anderen Seitenlängen ist 105.

Aufgabe 6-2. Ein Rechteck sei in eine Anzahl kleinere Rechtecke lückenlos und überdeckungsfrei zerlegt. Dies kann beispielsweise so erfolgen, dass man zunächst das Ausgangsrechteck durch einen vollständigen geraden Schnitt in zwei Rechtecke teilt, dann eines der Teilrechtecke erneut in zwei Rechtecke usw. In der Abbildung im Aufgabenblatt kann man mit einem ersten Schnitt das Rechteck A abteilen und dann in einem zweiten Schnitt die Rechtecke B1 und B2 erhalten.
Eine solche Zerlegung, für die eine geeignete Schnittfolge ermittelbar ist, wird sequentiell genannt. Gibt es für eine Zerlegung jedoch keine solche Schnittfolge (lassen sich also die Teilrechtecke nicht sequentiell mit vollständigen geraden Schnitten erzeugen, d.h. durch Abteilen jedes der Rechtecke entsteht eine Figur die kein Rechteck ist), heißt die Zerlegung primär.

(a) Man zeige, dass es keine primären Zerlegungen eines Rechtecks in drei Teilrechtecke gibt (d.h. dass jede Zerlegung eines Rechtecks in drei Teilrechtecke sich durch eine sequentielle Zerlegung erzeugen lässt).
(b) Man untersuche, ob eine primäre Zerlegung eines Quadrates in 5 Teilrechtecke existiert.

Aufgabe 6-3. Man finde alle reellwertigen Lösungen (x ; y ; z) des Gleichungssystems

x + y + z = 1
x2 + y2 + z2 = 3
1/x + 1/y + 1/z = 1

Aufgabe 6-4. Es ist zu beweisen, dass die Ebene durch drei Ecken eines Würfels, welche Endpunkte dreier von ein und derselben Ecke F des Würfels ausgehender Kanten sind, auf der Raumdiagonalen durch F senkrecht steht und die Raumdiagonale im Verhältnis 1 : 2 teilt.

Aufgabe 6-5A.
Das HERONsche Verfahren dient zur Approximation der Quadratwurzel einer reellen Zahl a (a > 0): Es sei x0 ein Schätzwert für √a. Im ersten Schritt berechnet man x1 durch

x1 = ½ ⋅ (x0 + a/x0)

Im n-ten Schritt ergibt sich aus xn ein besserer Näherungswert durch

xn+1 = ½ ⋅ (xn + a/xn) füor alle n = 1, 2, ...

(a) Man berechne mit dem HERONschen Verfahren einen Wert für √(2020).
(b) Man zeige: Für √a < xn gilt √a < xn+1 < xn.
(c) Man beweise: Beim HERON-Verfahren gilt für alle n > 0 die Ungleichung:

|√a - xn+1| < ½ ⋅ | √a - xn|

Aufgabe 6-5B.
(a) Welchen Polynomrest lässt P(x) = x100 + x99 + ... + x + 1 bei Division durch x2 + x + 1?
(b) Man beweise: Wenn im Polynom P(x) = ax2 + bx + c die Koeffizienten a, b und c sämtlich ungerade Zahlen sind, so hat P keine rationale Lösung.
(c) Das Polynom P(x) = x3 + 7x2 + 4x + c (mit einer reellen Zahl c) habe drei reelle Nullstellen x1, x2 und x3 mit x1 ≤ x2 ≤ x3. Man zeige: x3 - x1 > 6.

Aufgabenblatt Serie 5

Aufgabe 5-1. Ermitteln Sie alle natürlichen Zahlen n, für die gilt: Die Summe aus n, ihrer Quersumme Q(n) und deren Quersumme (Q(Q(n)) beträgt 2019.

Aufgabe 5-2. Es sei M die Menge aller natürlichen Zahlen von 1 bis 10.000.000.000. Man untersuche, ob die Anzahl derjenigen Zahlen aus M, bei deren dekadischen Darstellung die Ziffer 5 vorkommt, größer, gleich oder kleiner ist als die Anzahl derjenigen Zahlen aus M, bei deren dekadischen Darstellung keine 5 auftritt.

Aufgabe 5-3. (Aufgabe 1 des Bundeswettbewerbs Mathematik 2020, 1. Runde). Beweise: Es gibt unendlich viele Quadratzahlen der Form 50m - 50n, aber keine Quadratzahl der Form 2020m + 2020n; dabei sind m und n positive ganze Zahlen.

Aufgabe 5-4. Aufgabe 4 des Bundeswettbewerbs Mathematik 2020, 1. Runde). Die Strecke AB sei der Durchmesser eines Kreises k und E ein Punkt im Innern von k. Die Gerade AE schneide k außer in A noch im Punkt C, die Gerade BE schneide k außer in B noch im Punkt D. Beweise: Der Wert von AC ⋅ AE + BE ⋅ BD ist unabhängig von der Lage von E.

Aufgabe 5-5A.
Folgende Aufgaben lassen sich (auch) mit der Methode der vollständigen Induktion bearbeiten.
(a) Man zeige: Für jede natürliche Zahl n größer als 7 existieren ganzzahlige nichtnegative Zahlen r und s, so dass gilt: n = 3 ⋅ r + 5 ⋅ s.
(b) Man beweise: Für alle natürlichen Zahlen n (n > 0) ist 9 ein Teiler von 7n + 3 ⋅ n - 1.
(c) In der Ebene seien n Kreise gegeben (n > 0), die sich auch schneiden können. Damit wird die Ebene zerlegt in Kreise, Kreisbogenvielecke und eine oder mehrere Restflächen. Lassen sich diese Teilflächen für jedes n bei jeder Lage der Kreise so mit zwei Farben färben, dass jede Teilfläche der Ebene genau eine Farbe besitzt und keine zwei sich längs Kreisbögen berührende Flächen gleich gefärbt sind?

Aufgabe 5-5B.
(a) Man beweise: Für jedes konvexe Viereck gilt für dessen Flächeninhalt F und dessen Seitenlängen a, b, c und d die Ungleichung F ≤ (a2 + b2 + c2 + d2)/4 .
(b) Man zeige: Es gibt konvexe Vierecke, für die für dessen Flächeninhalt F und dessen Seitenlängen a, b, c und d die Gleichung F = (a2 + b2 + c2 + d2)/4. gilt.
(c) Man zeige, dass es eine kleinste Zahl p gibt, so dass für jedes Dreieck für dessen Flächeninhalt F und dessen Seitenlängen a, b und c die Ungleichung F ≤ p ⋅ (a2 + b2 + c2). gilt. Man ermittle diesen Wert von p.
Hinweis: Für jedes Dreieck gilt zwischen dem Flächeninhalt F und dem Umfang U die Beziehung F ≤ √ 3 ⋅ U2/36.

Aufgabenblatt Serie 4

Aufgabe 4-1. Man bestimme alle Paare (n ; k) mit natürlichen Zahlen n und k, die der Gleichung n! - 56k +10n genügen!

Aufgabe 4-2. Für welche positiven ganzen Zahlen n gibt es eine Quadratzahl, deren letzten n Ziffern in der Dezimaldarstellung sämtlich gleich 4 sind?

Aufgabe 4-3. Man finde alle Paare (p ; q) von Primzahlen, für die es positive ganze Zahlen x und y gibt, so dass gilt:

p = x2 - y
q = y2 + 3x - 7

Aufgabe 4-4. In einem Quadrat ABCD seien die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD und DA mit E, F, G bzw. H bezeichnet. In dem Streckenzug AFDECHBGA auftretende Schnittpunkte seien so mit K, L, M, N, O, P, Q, R bezeichnet, dass AKELBMFNCOGPDQHR ein (nichtkonvexes) Sechszehneck ist (s. Aufgabenblatt).

Man ermittle das Verhältnis des Flächeninhaltes dieses Sechszehnecks und des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.

Aufgabe 4-5A.
Es sei P ein Polynom vom Grad n (n > 0) mit ganzzahligen Koeffizienten a0, a1, ... an,

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0.

(a) Man zeige, dass nicht gleichzeitig P(2015) = 2017 und P(2019) = 2019 gelten kann.
(b) Man zeige: Ist x eine rationale Nullstelle des Polynomes P, also P(x) = 0, und gilt an = 1, so ist x ganzzahlig.
(c) Ist sowohl P(2019) als auch P(2020) ungerade, so besitzt P keine ganzzahlige Nullstelle.

Aufgabe 4-5B.
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die in der Dezimaldarstellung aus den Ziffern a0, a1, ... ak bestehe. Unter der Quadratquersumme QQS von n verstehe man die Summe der Quadratzahlen ihrer Ziffern, also den Ausdruck

QQS(n) = a02 + a12 + ... + ak2.

Ausgehend von einer beliebigen Zahl n0 erhält man durch wiederholte Anwendung der Bildung der Quadratquersumme die 'Folge der Quadratquersummen von n', also

nj+1 = QQS(nj) mit j = 0, 1, 2, ...

(a) Man vergleiche die Folgen der Quadratquersummen von 2019 und 2020.
(b) Man gebe vier (wesentlich verschiedene) dreistellige Zahlen an, bei denen in den Folgen der Quadratquersummen die Zahl 1 auftritt!
(Bemerkung: Zwei Zahlen, die sich nur durch die Anordnung ihrer Ziffern unterscheiden, gelten im Sinne der Quadratquersummen nicht als wesentlich verschieden.)
(c) Man beweise: Für jede natürliche Zahl n ist die Folge der Quadratquersummen (ab einem bestimmten Folgenglied) periodisch.


Aufgabenblatt Serie 3

Aufgabe 3-1. Kann man die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 21 so in Teilmengen zerlegen, dass in jeder dieser Teilmengen die größte Zahl gleich der Summe der übrigen Zahlen dieser Teilmenge ist?

Aufgabe 3-2. Kann man ein Quadrat der Seitenlänge 5 cm vollständig mit drei Quadraten der Seitenlänge 4 cm überdecken, wenn keinerlei Einschränkung an die Lage dieser Quadrate gegeben wird?

Aufgabe 3-3. Die Zahlen 1, 2, 3, ..., 2017 stehen an der Tafel. Amalie und Boris wischen abwechselnd je eine dieser Zahlen weg, bis nur noch zwei Zahlen übrig bleiben. Amelie beginnt. Wenn die Summe der beiden letzten Zahlen durch 8 teilbar ist, gewinnt Amelie, ansonsten Boris. Wer kann den Gewinn erzwingen?

Aufgabe 3-4. Es sei Menge von 2017 ganzen Zahlen gegeben, sodass zu je drei dieser Zahlen auch deren arithmetisches Mittel enthalten ist. Beweisen Sie, dass alle Zahlen gleich sind.

Aufgabe 3-5A.
(a) Zum vollständigen Auslegen des Fußbodens eines rechteckigen Zimmers sind rechteckige Platten des Formates 2 x 2 und solche des Formates 4 x 1 verwendet worden. Man beweise, dass das Auslegen nicht möglich ist, wenn man für das erneute Auslegen von der einen Sorte eine Platte weniger und von der anderen Sorte eine Platte mehr verwenden will.
(b) Man untersuche, ob der Fußboden eines rechteckigen Zimmers mit Platten der Form F1 (s. Aufgabenblatt) vollständig ausgelegt werden kann.
(c) Man gebe Bedingungen für die Seitenlängen des rechteckigen Zimmers an, so dass der Fußboden nur mit Platten der Form F2 (s. Aufgabenblatt) ausgelegt werden kann.

Aufgabe 3-5B. Gegeben seien drei natürliche Zahlen a, b, c, bei denen das Produkt von je zweien bei Division durch die dritte den Rest 1 lässt.
(a) Man zeige, die Zahlen a, b, c sind paarweise teilerfremd.
(b) Man beweise die Ungleichung abc < ab + bc + ca.
(c) Man finde alle Lösungen für die Zahlen a, b und c, die die beschriebene Eigenschaft haben.

Aufgabenblatt Serie 2

Aufgabe 2-1. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl n, bei der sowohl deren Quersumme Q(n) als auch die Quersumme Q(n + 1) des Nachfolgers (n + 1) durch 11 teilbar sind.

Aufgabe 2-2. Jemand hat für einen Einkauf die Hälfte seines verfügbaren Geldes ausgegeben und danach genauso viele Cent wie vorher Euro und halb so viele Euro wie vorher Cent in seinem Portemonnaie. Wie viel Geld hat er nach dem Einkauf?

Aufgabe 2-3. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt AABC = 1. Es sei M der Mittelpunkt von BC und P der Mittelpunkt von AM. Weiter schneide die Gerade BP die Seite AC in einem Punkt Q. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Vierecks MCQP.

Aufgabe 2-4. Gegeben sei ein Dreieck ABC und auf AB ein Punkt D. Man konstruiere einen Punkt E auf einer der beiden anderen Dreieckseiten so, dass DE die Dreieckfläche in zwei flächengleiche Teile zerlegt. Die Konstruktion ist zu beschreiben, zu begründen und zu diskutieren.

Aufgabe 2-5A.
In der Ebene seien endlich viele Punkte gegeben. Jeden von diesen verbinde man mit seinem nächstgelegenen Punkt durch eine Gerade. Alle Abstände seien verschieden, daher ist es eindeutig, welcher Punkt jedem Punkt am nächsten liegt.

(a) Man zeige: die entstehende Figur enthält keine sich schneidende Strecken.

(b) Man zeige: die entstehende Figur enthält kein geschlossenes Polygon.
(Hinweis: Ein ebenes Polygon stellt einen Streckenzug P1, P2, .. Pn dar. Ist P1 = Pn, so heißt das Polygon geschlossen.)

(c) Man beweise: Bilden je drei Punkte der gegebenen Menge ein Dreieck, dessen Fläche kleiner oder gleich 1 Flächeneinheit (FE) ist, so gibt es ein Dreieck mit der Fläche von 4 FE, das alle gegebenen Punkte enthält.

Aufgabe 2-5B.
(a) Man untersuche, ob es keine, endlich viele oder unendlich viele Tripel natürlicher Zahlen (k, m, n) mit n > m > 1 gibt, die die Gleichung m!n! = k2 erfüllen.

(b) Man beweise: Für jede natürliche Zahl n > 24 endet die Zahl n! auf mindestens n/5 Nullen.

(c) Man zeige, dass die Dezimalzahl 0,(1!)(2!)(3!)... (also nach dem Komma die Aneinanderreihung der Ziffern der Fakultäten, d.h. 0,1 2 6 24 120...) irrational ist.
(Hinweis: Eine rationale Zahl hat entweder eine abbrechende oder eine periodische Dezimaldarstellung.)

Aufgabenblatt Serie 1

Aufgabe 1-1. Zwei Freunde A und B sitzen im Cafe, A hat ein Glas Milch und B eine Tasse Kaffee schwarz vor sich. A gibt einen Löffel voll Milch in die Tasse von B. Nachdem B umgerührt hat, gibt B einen Löffel (gleicher Größe) voll seines Kaffee-Milch-Getränkes in das Glas von A.
Es ist zu entscheiden, ob anschließend A weniger, gleich viel oder mehr Kaffee in seiner Milch hat als B Milch in seinem Kaffee. Man begründe die Antwort!

Aufgabe 1-2. Man ermittle die Summe der Größen der Innenwinkel an den fünf Spitzen des dargestellten fünfzackigen Sterns (s. Aufgabenblatt)!

Aufgabe 1-3. Gegeben sind zwei Dreiecke, das Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt A1 und das Dreieck DEF mit dem Flächeninhalt A2.
Man weise nach, dass man aus den beiden Dreiecken mit Hilfe geometrischer Grundkonstruktionen ein drittes Dreieck konstruieren kann, das den Flächeninhalt A1 + A2 hat.

(Hinweis: Es ist nachzuweisen, dass das konstruierte Dreieck die geforderte Eigenschaft besitzt).

Aufgabe 1-4. Man zeige: Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dass sich in 5 untereinander kongruente und jeweils zum Dreieck ABC ähnliche Dreiecke zerlegen lässt (d.h. ABC ist ein fünfteiliges Gerücht). Man gebe die Seitenlängen des Dreiecks und die Zerlegung an.

Aufgabe 1-5A.
Gegeben sei eine Reihe von 9 nummerierten Plätzen (Platznummern 1 bis 9). Schreibt man auf diese Plätze die Ziffern 1 bis 9 in beliebiger Reihenfolge F (jede Ziffer genau einmal) und bezeichnet die Summe aus den neun absoluten Differenzen von Platznummer und Ziffer auf dem Platz mit U(F), so definiert U(F) einen Wert der Unordnung von F.

(a) Man finde eine Reihenfolge mit dem Unordnungswert 26.

(b) Man beweise: Der Wert der Unordnung U ist stets eine gerade Zahl.

(c) Man finde den maximalen Wert der Unordnung U, die unter diesen Bedingungen erreichbar ist.

Aufgabe 1-5B.
Für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen schreibt man n! (n-Fakultät):

(a) Man finde die größte ganze Zahl k, sodass 2019! durch 2019k teilbar ist?

(b) Man beweise, dass die Summe der Fakultäten zweier verschiedener Zahlen größer 1 keine Fakultätszahl ergibt, dass also die Gleichung a! + b! = c! für a > b > 1 keine Lösungen c besitzt.

(c) Man finde alle maximal dreistelligen Zahlen, die gleich der Summe der Fakultäten ihrer Ziffern sind.