Aufgaben

 

Aufgabenblatt Serie 2

Aufgabe 2-1. Es sollen Dreiecke mit zufällig ausgewählten Seitenlängen konstruiert werden. Mit einem Spielwürfel werden die Seitenlängen ermittelt, wobei die jeweils geworfene Augenzahl die Länge einer Seite in cm angibt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus drei nacheinander gewürfelten Zahlen a, b und c ein Dreieck mit den Seitenlängen a cm, b cm und c cm konstruiert werden kann.

Hinweis: Wir nehmen an, dass die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 gewürfelt werden.

Aufgabe 2-2. Die Zahlen 12, 13 und 15 sind - in irgendeiner Reihenfolge - Maßzahlen zweier Seiten und der Höhe über der dritten Seite eines Dreiecks. Man ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 2-3. Es sei s = ∛(20+14√ 2)-∛(20-14√ 2).
Man berechne s2 und s3. Man untersuche, ob s rational ist und gebe in diesem Fall den rationalen Wert an!

Aufgabe 2-4. Es ist zu beweisen: In jedem Dreieck ist die Summe der Längen der Seitenhalbierenden kleiner als der Umfang des Dreiecks.

Aufgabe 2-5A. Von einem Kreis sind zwei Punkte A und B und eine Tangente g gegeben. Man konstruiere den Kreis und gebe jeweils die Konstruktionsbeschreibung an, falls

(a) der Punkt A auf g liegt.
(b) die Gerade durch A und B parallel zu g ist.
(c) die Gerade durch A und B die Tangente g in einem Punkt S schneidet, der von A und B verschieden ist.

Aufgabe 2-5B.
(a) Man zeige: Unter 52 natürlichen Zahlen gibt es stets zwei, deren Summe oder deren Differenz durch 100 teilbar ist.
(b) In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 sind 51 Punkte markiert. Es ist zu zeigen, dass es unter diesen Punkten stets drei gibt, die im Inneren eines Kreises mit dem Radius 1 liegen.
(c) In einem regelmäßigen Neuneck sei jede Ecke entweder rot oder grün gefärbt. Je drei Ecken des Neunecks bestimmen ein Dreieck. Ein solches Dreieck heiße rot bzw. grün, wenn seine Ecken alle rot bzw. alle grün sind. Man beweise, dass es bei jeder derartigen Färbung des Neunecks mindestens zwei verschiedene kongruente Dreiecke gleicher Farbe gibt.

Aufgabenblatt Serie 1

Aufgabe 1-1. Man finde alle positiven ganzen Zahlen, die gleich der Summe ihrer Quersumme und ihres Querproduktes sind?

Aufgabe 1-2. Unter einem magischen Multiplikationsquadrat n-ter Ordnung versteht man eine Anordnung von n2 paarweise verschiedenen natürlichen (nicht notwendig aufeinander folgenden) Zahlen auf einem n x n-Quadrat, sodass die Produkte der Zahlen in jeder Spalte, jeder Zeile und jeder Diagonale gleich einer Konstante sind. Man untersuche, ob es für n > 2 magische Multiplikationsquadrate gibt!

Aufgabe 1-3. Jemand hat 55 Bälle, von denen einige blau sind und die übrigen rot. Außerdem hat er 10 Kisten; in die erste passt genau ein Ball, in die zweite passen genau zwei Bälle usw.
Zeigen Sie, dass es möglich ist, alle Bälle so in den Kisten zu verstauen, dass in keiner Kiste Bälle unterschiedlicher Farbe vorkommen.

Aufgabe 1-4. Gegeben sei ein Quadrat. Ein Kreis soll so gezeichnet werden, dass er zwei benachbarte Seiten des Quadrates berührt und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Quadrates geht. Man beschreibe die Konstruktion.

Aufgabe 1-5A. Gegeben sei für S die Summendarstellung s = 1 + 3 + ... + 31. Man könnte vermuten, dass unter S die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 31 gemeint ist, also S = S1(16) = ∑ (k = 1 ... 16)(2k - 1).

(a) Man leite eine Formel zur Berechnung der Summe der ersten n ungeraden Zahlen her, also einen Ausdruck ohne Summenzeichen für S1 in Abhängigkeit von n: S1(n) = ∑ (k = 1 ... n)(2k - 1).

(b) Es ist zu zeigen, dass die Darstellung von S = 1 + 3 + ... + 31 nicht eindeutig ist. Man gebe außer S1 (mit 16 Summanden) zwei weitere Summen mit verschiedener Summandenzahl an, in denen die Summanden 1, 3 und 31 wie angegeben als erste, zweite bzw. letzte Summanden vorkommen, und verwende für die Summendarstellung das Summenzeichen.

(c) Man gebe unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S = 1 + 3 + ... + 31 derart an, dass sich bei insgesamt 4 Summanden die Summe 45 ergibt. Man berechne die Summe der ersten 6 Zahlen gemäß dieser Darstellung. Kann man für jede vorgegebene Zahl A unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S finden, sodass S(4) = A gilt?

Aufgabe 1-5B. Es sind n Punkte (n > 1) so in einem Quadrat der Seitenlänge 1 zu verteilen, dass ihr Mindestabstand möglichst groß wird. Unter Mindestabstand dn zwischen n Punkten einer gegebenen Verteilung wird die kleinste Länge von den insgesamt ½n(n-1) möglichen Verbindungsstrecken zwischen je zwei Punkten verstanden. Für n = 2 ist die Lösung der Aufgabe trivial und man findet d2 = √ 2. Für n = 4 erscheint d4 = 1 als naheliegend, aber dafür ist bereits ein Beweis notwendig.

(a) Man gebe für n = 3 eine Verteilung mit möglichst großem Mindestabstand d3 an und bestimme die Größe von d3 für das gewählte Beispiel.

(b) Man beweise, dass es eine Verteilung von n = 6 Punkten gibt, sodass der Mindestabstand d6 größer als 0,58 wird.

(c) Man finde eine Verteilung von n = 5 Punkten, sodass der Mindestabstand d5 maximal wird. Man zeige, dass es keine Verteilung gibt, die einen größeren Mindestabstand erreicht.